前回の続き Sを複素平面上の部分集合とする。 Sの点aがSの内点とは、開円板D(a;r)がSに含まれることである。 又、aの適当な近傍がSと共通点を持たない時、aをSの外点という。 aがSの内点でも外点でもないとき、aをSの境界点という。閉区間[a,b]で定義された…

集合Xの部分集合族が次の条件を満たすとき、をボレル集合体又は、σ-加法族を作るという。 (B1)は少なくとも１つの部分集合を含む (B2) (B3)以下、ボレル集合体の性質。 をボレル集合体とする。 (1) (2) (3)

集合X上に外測度が与えられているとする。 このとき、が可測であるとは、に対して、 が成り立つことである。以下の弱い形で使うほうが多いらしい。 が可測 ]

集合Xの各部分集合Aに対し、の値を対応させる対応が与えられている。が次を満たすとき,をX上のカラテオドリの外測度、又は単に外測度という。 (C1) (C2) (C3)

先ず、の半開区間Iとは、 と表される集合の直積である。 Iの体積 |I|を によって定義する。 の部分集合Sが与えられた時、Sを可算個の半開区間で覆う被覆 を考え、このような被覆をいろいろに取ったときの下限として と置く。 このm*(S)をSのルベーグ外測度と…

を満たす集合Sを、測度0の集合或いは、零集合という。又、外測度の定義に従うと、零集合の定義は以下のようになる。 Sが零集合であるための必要十分条件は、任意の正数ε>0に対して、 可算個の矩形が存在して、 (1) (2)

内測度、外測度参照。平面の有界な集合Sが、 ---(*) を満たすとき、Sをルベーグ可測な集合又は単に可測集合という。 (SはR2上の半開集合) Sが可測集合のとき と置き、m(S)をSのルベーグ測度又は単に測度という。式(*)について、内測度の定義より とかける。 …

外測度参照平面の有限集合Sが与えられたとき、Sを内部に含む小矩形Jを1つとり、Sの内測度を によって定義する。(内測度は外測度が外側から測ったのに対して、内側から測ったものらしい。 上の式を考えると、Jの面積からJ∩Scの(外測度による)面積引いたら Sの…

Sを平面の有界な集合とする、Sを覆う可算個の小矩形を、いろいろに取ったとき、 の下限をSのルベーグ外測度、又は単に外測度といい、m*(S)で表す。 即ち、 である。 ここで、|Im|はｼﾞｮﾙﾀﾞﾝの意味でのImの面積である。 又、下限はを満たす小矩形列のすべてを…

Sを平面状の有界な集合とすし、その分点をいろいろに取ったときに、 の全体の集合をで表し、の全体の集合をで表す。 ここで、分点とは、区間内にとった任意の点のことである。 この場合、面積なのでx軸上の任意の分点と、y軸上の任意の分点の組全体をとして…

・中心(center) ・中心化群(centralizer) ・正規化群(normalizer) 群Gのすべての元と可換なGの元全体を Z(G)、C(G)などと書いて、Gの中心(center)という。 群Gとその部分集合Sに対して、Gの部分集合 はSをその中心に含むGの部分群となり、コレをと書いて、S…

・開円板(open disk) ・閉円板(closed disk) ・開集合(open set) ・弧状連結(arcwise connected) ・領域(domain) ・解析的(analytic) 中心c、半径r>0の円板を と表し、コレを開円板(open disk)と呼ぶ。 又、 を閉円板(closed disk)と呼ぶ。複素平面上の部分…