(R^2上での)内測度 - オボエガキ用

平面の有限集合Sが与えられたとき、Sを内部に含む小矩形Jを1つとり、Sの内測度を
$m_{*}(S)=|J| - m^{*}(J\cap S^{c})$
によって定義する。

(内測度は外測度が外側から測ったのに対して、内側から測ったものらしい。
上の式を考えると、Jの面積からJ∩S^cの(外測度による)面積引いたら
Sの内側からによる面積(測度？)が残んじゃねーのみたいなことかと思われる。)

以下、内測度の性質

(1) $0\le m_{*}(S) \lt \infty$
(2) $m_{*}(S)\le m^{*}(S)$
(3) $S\sub T$ ならば $m_{*}(S)\le m_{*}(T)$
(4)任意の矩形Iに対して、 $m_{*}(I) = |I|$

(1)内測度は零以上で有限
(2)内測度より外測度のほうが大きい
(3)含まれる集合のほうが内測度が大きい(コレは外測度でもいえた)
(4)内測度はｼﾞｮﾙﾀﾞﾝでの意味での面積に等しい。
ということか。