(R^n上での)測度

解析学

先ず、R^{n}の半開区間Iとは、
I=[a_{1},b_{1})\times [a_2,b_2)\times \dots [a_n,b_n) \\ \quad= \{(x_1,x_2,\dots,x_n) | a_1\le x_1 \lt b_1,\dots,a_n\le x_n\lt b_n\}
と表される集合の直積である。
Iの体積 |I|を
|I| = (b_1 - a_1)\times (b_2 - a_2)\times \dots \times (b_n - a_n)
によって定義する。
R^nの部分集合Sが与えられた時、Sを可算個の半開区間で覆う被覆
S\sub \cup^{\infty}_{n=1} I_n
を考え、このような被覆をいろいろに取ったときの下限として
m^*(S) = inf\Sigma |I_n|
と置く。
このm*(S)をSのルベーグ外測度という。

R^nの有界な集合Sに対して、Sを含むR^nの半開区間 J をとったとき、
|J| = m^*(S) + m^*(J\cap S^c)
が成り立つならば、Sをルベーグの意味での可測な集合であるという。

又、^{\forall }E\sub R^nに対して
m^*(E) = m^*(E\cap S) + m^*(E\cap S^c)
が成り立つ時、Sをカラテオドリの意味での可測な集合と言う。


次の定理が成り立つ。


[theorem]
R^nの有界な集合Sが、ルベーグの意味で可測ならば、カラテオドリの意味でも可測である。