ｼﾞｮﾙﾀﾞﾝ測度 - オボエガキ用

Sを平面状の有界な集合とすし、その分点 $\mathcal{G}$ をいろいろに取ったときに、 $\bar{S}(\mathcal{G})$ の全体の集合を $\bar{\Sigma }$ で表し、 $\underline{S}(\mathcal{G})$ の全体の集合を $\underline{\Sigma }$ で表す。
ここで、分点とは、区間内にとった任意の点のことである。
この場合、面積なのでx軸上の任意の分点と、y軸上の任意の分点の組全体を $\mathcal{G}$ としている。
又、ある面積の近似を考える時に、図に縦と横に平行線を沢山書いたものを考える。
此の時、求める図形の縁を含む小矩形(長方形)をあつめたもの(図形を外側から近似したもの)を $\bar{S}(\mathcal{G})$ とし、縁を含まない小矩形を集めたもの(つまり、図形を内側から近似したもの)を $\underline{S}(\mathcal{G})$ と書く。

$\underline{\Sigma }$ は上に有界な集合であり、 $\bar{\Sigma }$ は下に有界な集合である。
つまり、 $^{\exist}sup\underline{\Sigma }, inf\bar{\Sigma }$ なので
これらをそれぞれ、
ｼﾞｮﾙﾀﾞﾝ内測度
$|S|_{*} = sup\underline{\Sigma }$
ｼﾞｮﾙﾀﾞﾝ外測度
$|S|^{*} = inf\bar{\Sigma }$
と呼ぶ。