集合Xの部分集合族が次の条件を満たすとき、をボレル集合体又は、σ-加法族を作るという。 (B1)は少なくとも１つの部分集合を含む (B2) (B3)以下、ボレル集合体の性質。 をボレル集合体とする。 (1) (2) (3)

集合X上に外測度が与えられているとする。 このとき、が可測であるとは、に対して、 が成り立つことである。以下の弱い形で使うほうが多いらしい。 が可測 ]

集合Xの各部分集合Aに対し、の値を対応させる対応が与えられている。が次を満たすとき,をX上のカラテオドリの外測度、又は単に外測度という。 (C1) (C2) (C3)

先ず、の半開区間Iとは、 と表される集合の直積である。 Iの体積 |I|を によって定義する。 の部分集合Sが与えられた時、Sを可算個の半開区間で覆う被覆 を考え、このような被覆をいろいろに取ったときの下限として と置く。 このm*(S)をSのルベーグ外測度と…