を満たす集合Sを、測度0の集合或いは、零集合という。又、外測度の定義に従うと、零集合の定義は以下のようになる。 Sが零集合であるための必要十分条件は、任意の正数ε>0に対して、 可算個の矩形が存在して、 (1) (2)

内測度、外測度参照。平面の有界な集合Sが、 ---(*) を満たすとき、Sをルベーグ可測な集合又は単に可測集合という。 (SはR2上の半開集合) Sが可測集合のとき と置き、m(S)をSのルベーグ測度又は単に測度という。式(*)について、内測度の定義より とかける。 …

外測度参照平面の有限集合Sが与えられたとき、Sを内部に含む小矩形Jを1つとり、Sの内測度を によって定義する。(内測度は外測度が外側から測ったのに対して、内側から測ったものらしい。 上の式を考えると、Jの面積からJ∩Scの(外測度による)面積引いたら Sの…

Sを平面の有界な集合とする、Sを覆う可算個の小矩形を、いろいろに取ったとき、 の下限をSのルベーグ外測度、又は単に外測度といい、m*(S)で表す。 即ち、 である。 ここで、|Im|はｼﾞｮﾙﾀﾞﾝの意味でのImの面積である。 又、下限はを満たす小矩形列のすべてを…