(R^2上での)可測集合 - オボエガキ用

平面の有界な集合Sが、
$m^{*}(S)=m_{*}(S)$ ---(*)
を満たすとき、Sをルベーグ可測な集合又は単に可測集合という。
(SはR²上の半開集合)
Sが可測集合のとき
$m(S)=m^{*}(S)(=m_{*}(S))$
と置き、m(S)をSのルベーグ測度又は単に測度という。

式(*)について、内測度の定義より
$m^{*}(S)=|J| - m^{*}(J\cap S^{c})$
とかける。
コレを変形して、
$|J| = m^{*}(S) + m^{*}(J\cap S^{c})$
を特に、ルベーグの意味で可測ということにする。

SをR²の部分集合とする。すべてのE⊂R²に対して、常に
$m^{*}(E) = m^{*}(E\cap S) + m^{*}(E\cap S^{c})$
が成り立つとき、Sをカラテオドリの意味で可測と言う。