公理 - オボエガキ用

date	version	note
2012/07/27	1.0	first

0.集合の存在: $\exist{x}(x=x)$
1.外延性: $\forall{x}\forall{y}(\forall{z}(z\in{x}\leftright{y})\to{x={y})$
2.基礎: $\forall{x}[\exist{y}(y\in{x})\to\exist{y}(y\in{x}\wedge\neg\exist{z}(z\in{x}\wedge{z}\in{y}))]$
3.内包性図式: 任意の式 $\phi$ について、その自由変数を $x,z,w_1,\ldots,w_n$ (あるいはその一部）とするとき
$\forall{z}\forall{w_1},\ldots,w_n\exist{y}\forall{x}(x\in{y}\leftright{x}\in{z}\wedge\phi)$
4.対: $\forall{x}\forall{y}\exist{z}(x\in{z}\wedge{y}\in{z})$
5.和集合: $\forall\cal{F}\exist{A}\forall{Y}\forall{x}(x\in{Y}\wedge{Y}\in\cal{F}\to{x}\in{A})$
6.置換図式: 任意の式 $\phi$ について、その自由変数を $x,y,A,w_1,\ldots,w_n$ (あるいはその一部）とするとき
$\forall{A}\forall{w_1,\ldots,w_n}[\forall{x}\in{A}\exist{!y}\phi\to\exist{Y}\forall{x}\in{A}\exist{y}\in{Y}\phi]$

０〜６より、以下が定義可能

上記の公理を組み合わせて公理体系を名称付ける

...

そもそも公理の主張の前に、項(a,b,x,y,...)、記号( $\in ,\wedge ,\forall , \exist ,...$ )、式等の主張からやるべきだが、面倒なので省いた。
公理０は別に無くても、他公理から導ける。